承Fourier级数，在启复分析之前先水一节关于悖论的文章。

(相关资料图)

虚假的悖论

前文中我曾提到托里拆利的小号悖论（第六十节），以及广为人知的芝诺追龟悖论是两个典型的悖论，然而，它们会被称为悖论仅是因为我们分别陷入了两个陷阱中。下面一一解释。

托里拆利小号

如上图，小号由函数，绕横轴旋转一圈而成。可以计算它的容积：

及它的表面积：

所以有用油漆能灌满该小号而用粉刷该小号需要无限的油漆的悖论。甚至有人拿它攻击马哲。

然而，问题在于我们没有考虑油漆用量的度量究竟要用什么的问题。当你用油漆粉刷一面墙，你不会说“我刷了一面墙那么多的油漆”，而是说“我刷了一桶油漆”，因为墙只能提供面积参数，不能告诉你刷得多厚。也就是说，油漆用量仍然是个体积问题。如果我可以零厚度刷漆，那么我一滴油漆都不需要就能刷完一个理想的平面。此外，如果我们在刷小号时，如果保持厚度始终为，那么在的部分就根本刷不了了（宽度不够）。因此，粉刷该小号的油漆用量也是有限的。悖论化解。

芝诺追龟

这个悖论就更好理解了。这个悖论我就不介绍了。直接说明问题所在：在解决这个问题时，人们把追龟的步骤分成了无数份，然后以此说明人永远追不上乌龟。但是谁说要解决无数个任务就需要无限的时间？越往后，每次需要追及的距离越短，需要的时间就越少，无数段时间加起来可以是有限的。比如：

那么在一段时间后，人就必然在乌龟前面，也就是说人能追上乌龟。这不需要牵扯到物理学中普朗克长度和普朗克时间的问题。即使时空是连续的，也一样可以追上，这只是个数学问题。悖论化解。

真正的悖论

想要构造真正的悖论还得从逻辑本身入手。罗素就构造出了这样的悖论并引发了第三次数学危机。他构造了这样一个集合，使得所有不属于该集合的元素均为该集合的元素。还有一个通俗版本“理发师悖论”：村子里的理发师表示自己要给所有村里不自己刮胡子的人刮胡子，那么他是否应该给自己刮胡子？当然，这样的悖论也无非是影响一下集合论内部而不至于波及整个数学体系，只需要对构造集合时的要求稍作限定，禁止这样的集合出现即可。

事实上，这样的悖论促使我们思考数学的本源——逻辑学。常常能听别人说数学的什么什么理论十分神奇，什么所有正整数加起来等于负十二分之一，什么黎曼ζ函数所有非平凡零点都在实部为二分之一的轴线上，这些确实神奇，但都不足逻辑本身神奇。因为数学的尿性就是先给定一套公理，然后把玩这套公理，得出一系列定理。能够得出什么结论当你在给定公理时就已经决定了。然而这一套过程下来，是逻辑在背后起作用。例如，逻辑告诉了我们公理是什么东西，怎么描述公理。然而逻辑到底是啥？为什么它的使用不需要证明？比如现代数学里你可以承认或否定选择公理（ZFC公理系统的一个公理）都没问题，但是你敢说你否定逻辑里的排中律吗？事实上你可以否定，但是一否定你会发现接下来数学就啥都不剩了，那么我们究竟该把它当作公理吗？逻辑究竟是原本就有的还是因人而生的？如果有其他的物质宇宙，是否可以有不一样的逻辑（比如一件事又对又错）?我们的语言本身就是逻辑的外在物质体现，那么如果要研究逻辑学，我们是不是不能直接使用我们的语言？那么如果不用语言，我们还能谈论逻辑学吗？否定排中律究竟会得出什么呢？

由上我们会发现，逻辑规律才是宇宙里最迷的东西。目前我们只能默认它们始终存在且正确，因为它们根本就不是像数学那么友好又可把玩的东西（汗）。